由若干个小圆圈堆成的三角形图案,最上面那层有一个圆圈,下面各层比上层多一个圆圈,一共堆了8层.

题目

由若干个小圆圈堆成的三角形图案,最上面那层有一个圆圈,下面各层比上层多一个圆圈,一共堆了8层.
-15
-14 -13
-12 -11 -10
……
（）（）……（）（）所有数的和是多少?

答案

方法一、
观察可知,第n行有n个数
前n-1行共有1+2+3+.+（n-1）=n(n-1)/2个数
所以第n行的第一个数是等差数列{-15+(n-1)*1}即{n-16}得第n(n-1)/2 +1项=n(n-1)/2 -15
所以第n行的和等于,以n(n-1)/2 -15为首项,以1为公差的等差数列的前n项和
=n*[n(n-1)/2 -15] +n(n-1)/2 =n(n-1)(n+1)/2 -15n
方法二、
可以看做前n行的和,减去前n-1列的和
由
观察可知,第n行有n个数
前n-1行共有1+2+3+.+（n-1）=n(n-1)/2个数
数列按等差数列{-15+(n-1)*1}即{n-15}排列
所以该数列的前n-1行的和=等差数列{n-15}的前n(n-1)/2项的和=...=a
该数列的前n行的和=等差数列{n-15}的前n(n+1)/2项的和=..=b
所以第n行的和=b-a=...