一元二次不等式ax^2+bx+1>0的解集是{x|x ≠2},求实数a与b的值

题目

一元二次不等式ax^2+bx+1>0的解集是{x|x ≠2},求实数a与b的值

答案

∵x≠2等价于（x-2）²＞0
展开有：x²-4x+4＞0；
而∵ax^2+bx+1>0的解集是{x|x ≠2}
∴ax^2+bx+1>0等价于x≠2；
∴x²-4x+4＞0等价于ax²+bx+1＞0
∴a＞0,ax²+bx+1＞0等价于x²+bx/a+1/a＞0
∴x²-4x+4＞0等价于x²+bx/a+1/a＞0
∴-4=b/a,4=1/a
∴a=1/4,b=-1