利用柯西不等式证明

题目

利用柯西不等式证明
设a,b,c,d为正实数,（ab+cd）（ac+bd）≥4abcd

答案

证明 a,b,c,d为正实数
（ab+cd）（ac+bd）=[(√ab)^2+(√cd)^2][(√ac)^2(√bd)^2]≥(√ab√ac+√cd√bd)^2=bc（a+d）^2
=bc(a^2+d^2+2ad)≥bc(2ad+2ad)=4abcd
当且仅当√ab√bd=√cd√ac且a=d即b=c且a=d时等号成立