在梯形abcd中,AD//BC,AC垂直BD于O,试判断AB+CD与AD+BC的大小关系,证明你的结论
题目
在梯形abcd中,AD//BC,AC垂直BD于O,试判断AB+CD与AD+BC的大小关系,证明你的结论
答案
AB+CD>AD+BC.证明如下:
令AD、BC的中点为E、F.
∵∠AOD=90°,AE=DE,∴EO=AE=AD/2,∴∠EOA=∠EAO.
∵∠BOC=90°,BF=CF,∴FO=BF=BC/2,∴∠FOB=∠FBO.
∵∠AOB=90°,∴∠BAO+∠ABO=90°.
又AD∥BC,∴∠EAO+∠BAO+∠ABO+∠FBO=180°,∴∠EAO+∠FBO=90°,
∴∠EOA+∠FOB=90°,∴∠EOA+∠AOB+∠FOB=180°,∴E、O、F共线,
∴EO+FO=EF,∴EF=(AD+BC)/2.
令AB、CD的中点为G、H.
∵∠AOB=90°,AG=BG,∴GO=AG=AB/2,∴∠GOA=∠GAO.
∵∠COD=90°,CH=DH,∴HO=DH=CD/2,∴∠HOD=∠HDO.
∵∠AOD=90°,∴∠ADO+∠DAO=90°.
又AB、CD不平行,∴∠GAO+∠DAO+∠ADO+∠HDO≠180°,∴∠GAO+∠HDO≠90°,
∴∠GOA+∠HOD≠90°,∴∠GOA+∠AOD+∠HOD≠180°,∴G、O、H不共线,
∴GO+HO>GH,∴GH<(AB+CD)/2.
由三角形中位线定理,有:EG=DB/2,且EG∥DB, HF=DB/2,且HF∥DB,
∴GEHF是平行四边形.
再由三角形中位线定理,有EH∥AC.
由EH∥AC、EG∥DB、AC⊥BD,得:EG⊥EH,∴平行四边形GEHF是矩形,∴EF=GH.
由EF=GH、EF=(AD+BC)/2、GH<(AB+CD)/2,得:(AB+CD)/2>(AD+BC)/2,
∴AB+CD>AD+BC.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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