已知X~N（μ,σ^2）从中随机抽取n=14的样本,分别求样本均值与总体均值的之差的绝对值小于1.5的概率,

题目

已知X~N（μ,σ^2）从中随机抽取n=14的样本,分别求样本均值与总体均值的之差的绝对值小于1.5的概率,
（1）σ^2=25
（2）σ^2未知,但s^2=17.26

答案

X[i]~N（μ,σ^2） i=1、2、3……14
那么平均值Y~N（μ,σ^2/14）
1)σ^2=25 Y~N（μ,25/14）
那么P(|Y-μ|<=1.5)
=P(μ-1.5=P(Y<=μ+1.5)-P(Y<=μ-1.5)
=Φ((μ+1.5-μ)/√25/14)-Φ((μ-1.5-μ)/√25/14)
=Φ(3√14/10)-Φ(-3√14/10)
=2Φ(3√14/10)-1
=2Φ(1.12)-1 查表Φ(1.12)=0.8686
=0.7372
(2)σ^2未知,但s^2=17.26
T=√n (Y-μ)/S ~t(n-1)分布
那么
P(|Y-μ|<=1.5)
=P(-1.5<=Y-μ<=1.5)
=P(-1.5*√n/S<=√n (Y-μ)/S<=1.5*√n/S)
=P(-1.35<=T<=1.35) 查t分布表,发现P(|t(13)|>1.35)=0.2
=1-0.2
=0.8