如果偶函数f(x)在R上可导,且是周期为T=3的周期函数,且f′(1)=0,则方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根个数至少是( ) A.11 B.9 C.7 D.5
题目
如果偶函数f(x)在R上可导,且是周期为T=3的周期函数,且f′(1)=0,则方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根个数至少是( )
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
答案
由偶函数f(x)的周期为T=3可得,f(x+
)=f(x-
)=f(
-x),
∴偶函数f(x)的图象关于直线x=
对称,且函数f′(x)是奇函数,且周期等于
.
由偶函数f(x)在R上可导,知 f'(0)=f'(
)=f'(3)=0.
再由周期等于
以及 f′(1)=0,求得 f′(
)=f′(4)=f′(
)=f′(
)=f′(6)=0.
综上,方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根为 x=0,
,1,
,3,4,
,
,6,共有9个,
故选B.
由题意可得,函数f′(x)是奇函数,故可得 f′(0)=0 且周期等于
.再由 f′(1)=0,利用函数的周期性求出方程f′(x)=0在区间[0,6]上的实根,从而得出结论.
导数的运算;函数的周期性;根的存在性及根的个数判断.
本题主要考查方程的根的存在性及个数判断,利用函数的奇偶性与周期性求函数的值,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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