求两直线｛x+2y+5=0,2y-z-4=0｝与｛y=0,x+2z+4=0｝的公垂线的方程

题目

求两直线｛x+2y+5=0,2y-z-4=0｝与｛y=0,x+2z+4=0｝的公垂线的方程
x+9/1=(y-2)/-2=z/2

答案

先求公垂线的切向量:
首先要求出两直线各自的切向量:所给出的方程都是各自的相交平面的方程,提取他们的法向量,如第一个:(1,2,0)和(0,2,-1)
叉乘求出交线切向量:(1,2,0)×(0,2,-1)=(-2,1,2)
同样方法求出另一直线:(0,1,0)×(1,0,2)=(2,0,-1)
则公垂线的切向量为:
(-2,1,2)×(2,0,-1)=(-1,2,-2).
公垂线一定与两条直线都相交,则设公垂线与直线｛y=0,x+2z+4=0｝交点为:(a,b,c).
代入,则有;
b=0;
a+2c=-4;①
由切向量可列出公垂线的参数方程:
x=a-t;y=b+2t=0+2t=2t;z=c-2t;
因为公垂线也与另一直线｛x+2y+5=0,2y-z-4=0｝相交,则将 x=a-t;y=2t;z=c-2t
代入 x+2y+5=0,2y-z-4=0 中得:
(a-t)+4t+5=0; →3t=5-a;
4t-(c-2t)-4=0; →6t=c+4;
消去t得:
10-2a=c+4 →2a+c=6;
与①联立解出: a=16/3; c=-14/3;
则公垂线的参数方程为:
x=16/3-t; y=2t; z=-14/3-2t.
转化为直角坐标方程就是
x+9/1=(y-2)/-2=z/2.