菱形ABCD的对角线交点为M（1,0）,AB边所在的直线方程为3x+4y-13=0,点N(-5,2)在直线.

题目

菱形ABCD的对角线交点为M（1,0）,AB边所在的直线方程为3x+4y-13=0,点N(-5,2)在直线.
（1）求菱形ABCD的内切圆圆M的方程.（2）求AD边所在的直线方程.（3）若P.Q是圆M直径的两个端点,欧式坐标原点,求证OP【向量】*OQ【向量】是定值.
N在直线AD上

答案

(1)内切圆半径=M到AB的距离=2,
∴菱形ABCD的内切圆圆M的方程是(x-1)^2+y^2=4.
(2)N(-5,2)在直线AD上,设AD:kx-y+5k+2=0,则
M到AD的距离=|6k+2|/√(k^2+1)=2,
平方,化简得8k^2+6k=0,k=0或-3/4(此时AD与AB平行,舍),
∴AD的方程是y=2.
(3)P.Q是圆M直径的两个端点,O是坐标原点,
∴向量MQ=-MP,
∴向量OP*OQ=(OM+MP)(OM+MQ)=(OM+MP)(OM-MP)=OM^2-MP^2=1-4=-3.