F是抛物线x^2=4y的焦点,设A、B为抛物线异于原点的两点,且满足FA垂直FB…

题目

F是抛物线x^2=4y的焦点,设A、B为抛物线异于原点的两点,且满足FA垂直FB…
F是抛物线x^2=4y的焦点,设A、B为抛物线异于原点的两点,且满足FA垂直FB,延长AF、AB分别交抛物线于C、D,求四边形ABCD面积的最小值

答案

四边形的对角线相互垂直,所以,四边形的面积就是对角线乘积的一半（拆成两个三角形）
F坐标为（0,1）由于直线与抛物线相交
设直线AC方程为y=kx+1,A(X1,Y1)C(X2,Y2)则直线BD的方程可以设为y=-1/k *x +1
联立
x^2=4y
y=kx+1,消去y得
x^2-4kx-4=0
△=16k^2+16>0
由韦达定理,得
X1+X2=4k,X1X2=-4
AC=√(1+k^2) *｜X1-X2｜,
AC^2==(1+k^2) *｜X1-X2｜^2
因为(X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=16k^2+16
AC^2=16(k^2+1)^2
以-1/k代替k,得到
BD^2=16(1/k^2 +1)^2
S四边形^2=1/4*16(k^2+1)^2*16(1/k^2+ 1)^2
=64(k^2+1)^2*(1/k^2 +1)^2
S=8(k^2+1)(1/k^2+1)=8(2+k^2+1/k^2）
k^2+1/k^2>=2
所以,S>=8*4=32
希望对你有所帮助,