已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点. (1)求证:BC1∥平面CA1D; (2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B; (3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1=3

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点. (1)求证:BC1∥平面CA1D; (2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B; (3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1=3

题目
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点.

(1)求证:BC1∥平面CA1D;
(2)求证:平面CA1D⊥平面AA1B1B;
(3)若底面ABC为边长为2的正三角形,BB1=
3
,求三棱锥B1-A1DC的体积.
答案
证明:(1)连接AC1交A1C于点E,连接DE

∵四边形AA1C1C是矩形,则E为AC1的中点
又∵D是AB的中点,DE∥BC1
又DE⊂面CA1D,BC1⊄面CA1D,
∴BC1∥平面CA1D;
(2)AC=BC,D是AB的中点,
∴AB⊥CD,
又∵AA1⊥面ABC,CD⊂面ABC,
∴AA1⊥CD,
∵AA1∩AB=A,
∴CD⊥面AA1B1B,
又∵CD⊂面CA1D,
∴平面CA1D⊥平面AA1B1B
(3)则由(2)知CD⊥面ABB1B,
∴三棱锥B1-A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
3

又∵BD=1,BB1=
3

∴A1D=B1D=A1B1=2,SA1B1D=
3

∴三棱锥B1-A1DC的体积VB1A1DC=VC−A1B1D=
1
3
3
3
=1
(1)连接AC1交A1C于点E,连接DE,由直三棱柱的几何特征及三角形中位线定理,可得DE∥BC1,进而由线面平行的判定定理得到结论;
(2)先利用面面垂直的性质定理证明直线CD⊥平面AA1B1B,再由面面垂直的判定定理证明所证结论即可
(3)三棱锥B1-A1DC的体积VB1A1DC=VC−A1B1D,求出棱锥的底面面积和高,代入棱锥体积公式,可得答案.

棱柱、棱锥、棱台的体积;平面与平面垂直的判定.

本题主要考查了直棱柱中的线面、面面关系,线面及面面平行、垂直的判定定理和性质定理的应用,棱锥的体积,推理论证的能力和表达能力,注意证明过程的严密性

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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