如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

题目

如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？

答案

设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则BE=a-x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=EF，∠HEF=90°，
∴∠AEH+∠BEF=90°，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
在△AHE和△BEF中，

∠A＝∠B＝90° ∠AHE＝∠BEF EH＝EF

，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE=BF=CG=DH=x，AH=BE=CF=DG=a-x
∴EF²=BE²+BF²=（a-x）²+x²=2x²-2ax+a²，
∴正方形EFGH的面积S=EF²=2x²-2ax+a²=2（x-

1

2

a）²+

1

2

a²，
即：当x=

1

2

a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为

1

2

a²．

设设正方形ABCD的边长为a，AE=x，则BE=a-x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积，利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．

本题考点：正方形的性质；二次函数的最值．

考点点评：本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．