已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点

题目

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交抛物线于A、B两点
求证：当且仅当AB⊥x轴时,线段AB最短
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答案

焦点F（p/2,0）,设过焦点的直线方程为 x=my+p/2,代入抛物线方程得
y^2=2p(my+p/2),
即 y^2-2pmy-p^2=0,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2=2pm,y1*y2=-p^2.
由此得 x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm^2+p.
由抛物线线的定义,AF=x1+p/2,BF=x2+p/2,
因此,AB=AF+BF=x1+x2+p=2pm^2+2p>=2p,
当且仅当 m=0 即 直线AB丄x轴时,AB最短,为2p.（通径最短）