af(x)+bf(1/x)=c/x,/a/不等于/b/ x属于除0外的区间,试证明f(x)是奇函数

题目

af(x)+bf(1/x)=c/x,/a/不等于/b/ x属于除0外的区间,试证明f(x)是奇函数

答案

因为af(x)+bf(1/x)=c/x 所以bf(x)+af(1/x)=cx 相加得(a+b)*(f(x)+f(1/x))=c(x+1/x) 因为|a|不=|b| 所以a+b不=0 又(a+b)*(f(-x)+f(-1/x))=c(-x-1/x) 相加得(a+b)*(f(x)+f(1/x)+f(-x)+f(-1/x))=c(x+1/x-x-1/x)=0 所以f(x)+f(1/x)+f(-x)+f(-1/x)=0 令g(x)=f(x)+f(-x) (x不=0) 则有g(x)+g(1/x)=0 假设g(x)不=0 则有g(1/x)不=0 所以g(x)=-g(1/x) 又af(x)+bf(1/x)=c/x 可得假设不成立 所以g(x)=0 即证f(x)+f(-x)=0 所以f(x)是奇函数