过点P(-2,0)作抛物线y²=4x的直线,交于A,C两点,过抛物线焦点F,连接AF,CF,分别延长

题目

过点P(-2,0)作抛物线y²=4x的直线,交于A,C两点,过抛物线焦点F,连接AF,CF,分别延长
交抛物线与B,D,设AF向量=λFB,CF向量=λ'=FD
(1)λ与A的横坐标有何关系,并说明理由
（2）求λ+λ‘的范围

答案

（1）设A（y1²/4,y1),F是抛物线的焦点(1,0),B(x0,y0)
AF=(1-y1²/4,-y1),FB=(x0-1,y0)
∵AF=λFB
∴1-y1²/4=λ(x0-1),-y1=λy0
且B在抛物线上,所以y0²=4x0,∴x0=y0²/4
解得：y0²=4/λ
∴A的横坐标y1²/4=λ²y0²/4=(λ²×4/λ)/4=λ
∴A的横坐标=λ
（2）同（1）可知：C的横坐标=λ‘
设A的横坐标为x1,C的横坐标为x2
直线l:y=k(x+2)与抛物线联立
得：k²x²+(4k²-4)x+4k²=0
△=(4k²-4)²-16k^4=-32k²+16＞0
∴-√2/2＜k＜√2/2
由根与系数的关系知：x1+x2=λ+λ'=(4-4k²)/k²=4/k²-4
∵0≤k²＜1/2
∴4/k²-4＞8-4=4
∴λ+λ'＞4