△ABC是等腰直角三角形AB=AC,D是斜边BC的中点,EF分别是AB,AC边上的点且DE⊥DF,若BE=12CF=5,求△DEF的面积

题目

△ABC是等腰直角三角形AB=AC,D是斜边BC的中点,EF分别是AB,AC边上的点且DE⊥DF,若BE=12CF=5,求△DEF的面积

答案

连接AD,
∵△ABC是等腰直角三角形AB=AC,D是斜边BC的中点,
∴∠B＝∠C＝45°,AD＝½BC,AD⊥BC
∴∠DAB＝∠B＝45°
∵DE⊥DF
∴∠EDF＝90°
即∠EDA+∠ADF＝90°
又∵∠CDF+∠ADF＝90°
∴∠EDA＝∠CDF
在△AED与△CFD中
∠DAB＝∠B＝45
AD=CD
∠EDA＝∠CDF
∴△AED≌△CFD
∴AE=CF=5
ED=FD
∴AB=BE+AE=12+5=17=AC
AF=AC－CF=17-5=12
在Rt△AEF中,由勾股定理,可得EF＝√(AE²+AF²)=13
在Rt△DEF中,由勾股定理,可得ED=FD=(13/2)√2
∴S△DEF=½×DE×DF=½×(13/2)√2×(13/2)√2=169/4