如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,P为AC上一点,PQ⊥AB于Q,AM⊥AB交BP的延长线于M,MN⊥AC于N,AQ=MN. (1)求证:AP=AM; (2)求证:PC=AN.
题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90゜,P为AC上一点,PQ⊥AB于Q,AM⊥AB交BP的延长线于M,MN⊥AC于N,AQ=MN.
(1)求证:AP=AM;
(2)求证:PC=AN.
答案
证明:(1)∵BA⊥AM,MN⊥AC,
∴∠BAM=∠ANM=90°,
∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°,
∴∠PAQ=∠AMN,
∵PQ⊥AB MN⊥AC,
∴∠PQA=∠ANM=90°,
∴在△PQA与△ANM中,
,
∴△PQA≌△ANM(ASA)
∴AP=AM;
(2)由(1)知,△PQA≌△ANM,
∴AN=PQ AM=AP,
∴∠AMB=∠APM
∵∠APM=∠BPC,∠BPC+∠PBC=90°,∠AMB+∠ABM=90°
∴∠ABM=∠PBC
∵PQ⊥AB,PC⊥BC
∴PQ=PC(角平分线的性质),
∴PC=AN.
(1)要点是确定一对全等三角形△AQP≌△MNA,得到AP=AM;
(2)利用(1)中的全等三角形的性质得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN.
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
本题是几何综合题,全等三角形的判定与性质、角平分线性质等重要知识点.题干中给出的条件较多,图形复杂,难度较大,对考生能力要求较高;解题时,需要认真分析题意,以图形的全等为主线寻找解题思路.解答中提供了多种解题方法,可以开拓思路,希望同学们认真研究学习.
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