已知4阶矩阵A=（α1 α2 α3 α4）的列向量组中,α1 α2 α4线性无关,α3=2α1+α2-2α4,

题目

已知4阶矩阵A=（α1 α2 α3 α4）的列向量组中,α1 α2 α4线性无关,α3=2α1+α2-2α4,
且β=α1+α2+2α3-2α4,求非齐次方程组AX=β的通解.

答案

因为 β=α1+α2+2α3-2α4
所以 (1,1,2,-2)^T 是非齐次方程组AX=β的特解
因为 α1 α2 α4线性无关,α3=2α1+α2-2α4,
所以 r(A)=3, Ax=0 的基础解系含 4-3=1 个向量
且 (2,1,-2,-1)^T 是 Ax=0 的基础解系
所以 AX=β 的通解为 (1,1,2,-2)^T + c(2,1,-2,-1)^T.