过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.

题目

过点A(0,3)的直线l与圆x^2+y^2=1交于A、B两点.且三角形AOB面积最大,求l的方程.

答案

怎么两个“A”啊?前面的不是的吧?
设直线L方程为：y-3=kx,即：kx-y+3=0
圆心到直线的距离D=3/√(k²+1) ,半径R=1
∴(|AB|/2)²=R²-D²= 1 - 9/(k²+1) = (k²-8)/(k²+1) (勾股定理)
∴|AB|/2=√[ (k²-8) / (k²+1) ]
∴S△AOB
= D×|AB|/2
= [ 3/√(k²+1) ] × √[ (k²-8) / (k²+1) ]
= [3√(k²-8)] / (k²+1)
= [3√(k²-8)] / (k²- 8 + 9)
= 3 / [√(k²-8) + 9/√(k²-8) ] (分式上下同时除以√(k²-8))
≤3/(2√9)
=1/2
当且仅当√(k²-8) = 9/√(k²-8) ,即k=±√17时,等号成立.
∴直线L方程为：±√17x - y + 3 =0