已知RT三角形ABC中,角C等于90度,点D为AB的中点,E为AC上任意一点,作DF垂直DE交BC于点F.

题目

已知RT三角形ABC中,角C等于90度,点D为AB的中点,E为AC上任意一点,作DF垂直DE交BC于点F.
求证：“AE^2+BF^2=CE^2+CF^2"

答案

连接EF,将三角形ADE绕点D逆时针旋转180度,得△BDE'(AD与BD重合）连接FE'
因为角FDE=90°,所以角ADE+角BDF=90°,因为角ADE=角BDE',所以角FDB+角BDE'=90°,EDE'共线.因为DE=DE',FD⊥EE',所以FE=FE'.
因为AE=BE',所以AE^2+BF^2=BE'^2+BF^2=E'F^2.
因为∠C=90°,所以CE^2+CF^2=EF^2.
所以AE^2+BF^2=CE^2+CF^2.