在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.圆o是三角形bde的外接圆

题目

在Rt△ABC中,BC=9,CA=12,∠ABC的平分线BD交AC与点D,DE⊥DB交AB于点E.圆o是三角形bde的外接圆
求证ac是圆o的切线
求圆o的半径

答案

取BE中点O,连结OD.设圆O半径为r
∵BC²+AC²=AB²,∴∠C=90°
∵BD⊥DE,∴∠BDE=90°,∴BE为圆O的直径,则O为圆心
∵BD平分∠CBE,∴∠CBD=∠DBE,
又∠C=∠BDE=90°,∴∠BED=∠BDC
∵OB=OD=r,∴∠ODB=∠OBD
∴∠CDB+∠ODB=90°,∴OD⊥AC,∵OD为直径,∴AC切圆O于D
2r/BD=BD/9·········①
(12-4r/3)²+9²=BD²······②
联立①②解出半径r=45/2(舍去)或者r=45/8