如图,在△ABC中,E是BC的中点,F在AE上,AE=3AF,BF延长线交AC于D点.若△ABC的面积是48,则△AFD的面积等于_.

如图,在△ABC中,E是BC的中点,F在AE上,AE=3AF,BF延长线交AC于D点.若△ABC的面积是48,则△AFD的面积等于_.

题目
如图,在△ABC中,E是BC的中点,F在AE上,AE=3AF,BF延长线交AC于D点.若△ABC的面积是48,则△AFD的面积等于______.
答案
过点E作EG∥BD,交AC于G,如右图,
设S△ADF=x,S△CEG=y,
在△CBD中,∵E是BC中点,EG∥BD
∴△CEG∽△CBD,S△ABE=S△ACE=24,
∴S△CBD:S△CEG=4:1,
∴S△CBD=4y,
在△AEG中,∵AE=3AF,EG∥BD,
∴△ADF∽△AGE,S△ABF=8,S△BEF=16,
∴S△AEG:S△AFD=9:1,
∴S△AEG=9x,那么有
9x+y=24
4y+8+x=48

解得
x=1.6
y=9.6

故答案为:1.6.
先过E作EG∥BD,交AC于G,设S△ADF=x,S△CEG=y,由于△ABC的面积为48,E是BC中点,可求S△ABE,S△ACE,又F是AE的三等分点,可求S△ABE.在△CBD中,EG∥BD,E是BC中点,利用平行线分线段成比例定理的推论,可知CG=DG,从而可知△CEG∽△CBD,再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,可得S△CBD=4y,同理可求S△AEG=9x,再利用三角形面积之间的加减关系可得关于x、y的二元一次方程,解即可.

三角形的面积.

本题考查了三角形的面积计算、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定、相似三角形的面积比等于相似比的平方.关键是作辅助线,所作的平行线能用到两个三角形中.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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