若点O和点F分别为椭圆x2除以2＋y2＝1的中心和右焦点,点p为椭圆上的任意一点,则向量op乘向量pf的最大值

题目

若点O和点F分别为椭圆x2除以2＋y2＝1的中心和右焦点,点p为椭圆上的任意一点,则向量op乘向量pf的最大值
是x的平方和y的平方

答案

x^2/2+y^2=1P(x,y) F(1,0)OP(x,y)PF(1-x,y)OP*PF=x*(1-x)+y^2=x-x^2+y^2=x-x^2+1-x^2/2=(-3/2)x^2+x+1=(-3/2)(x^2-2x/3)+1=(-3/2)(x-1/3)^2+1+(3/2)(1/9)=(-3/2)(x-1/3)^2+7/6x=1/3时,最大=7/6