设方阵 A=E-2aaT,其中 E 为 n 阶单位矩阵,a 为 n 维单位列向量,证明：A为对称的正交矩阵.
题目
设方阵 A=E-2aaT,其中 E 为 n 阶单位矩阵,a 为 n 维单位列向量,证明：A为对称的正交矩阵.
答案
直接验证.a是单位列向量,所以aTa=1
AT=ET-2(aaT)T=E-2aaT所以是对称阵.
ATA＝（E-2aaT）（E-2aaT）＝E－2aaT-2aaT＋4aaTaaT=E
这说明A是正交阵.
举一反三
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