如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是平行四边形ABCD外一点,且AE垂直CE,BE垂直DE,求证四边形ABCD是矩形

题目

如图,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是平行四边形ABCD外一点,且AE垂直CE,BE垂直DE,求证四边形ABCD是矩形
及

答案

证明：
如图,
定律：平行四边形的对角线互相平分.
以AC为直径、点O为圆心作圆,则点A、C位于圆上,同时点E也在圆上,因为AE垂直CE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）
以BD为直径、点O为圆心作圆,则点B、D位于圆上,同时点E也在圆上,因为BE垂直DE（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形,圆外或圆内的任何一点都不可能形成直角E）
因为2个圆都是以点O为圆心,
（1）若AC＝BD,则满足已知条件,说明2个圆的大小与位置完全一样、可以认定是同一个圆,则四边形的四个顶点都在同一圆上,则四个角都是直角（圆上一点与圆的直径必然形成直角三角形）
或直接证明为：对角线相等的平行四边形是矩形.
（2）若AC不等于BD,但2个圆又是同心的,则2个圆不可能有交点、即点E的存在,不满足已知条件.