如图所示,已知梯形ABCD中,AD平行BC,点E在CD上,且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC.求证

题目

如图所示,已知梯形ABCD中,AD平行BC,点E在CD上,且AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC.求证
（1）三角形AEB为直角三角形
（2）DE=CE
(3)AB=AD+BC

答案

(1)AD∥BC ∴∠DAB+∠ABC=180°
∠EAB+∠ABE=180°/2=90°(AE,BE是角平分线)
∴∠AEB=90°∴△AEB是RT△
(2)取AB中点M,连EM
∴EM=MA=MB(RT△斜边的中线)
∴∠MAE=∠MEA
因为∠MAE=∠DAE
∴∠DAE=∠MEA
∴ME∥AD
AD∥BC
∴ME是梯形中位线
∴DE=EC
(3)连AE并延长交BC延长线于N,连DN,
因为DE=EC AD∥BC
∴AE=EN
又BE⊥AE ∴BA=BN
又A D N C是平行四边形(对角线互相平分)
∴CN=AD ∴BN=BC+AD
则有AB=AD+BC