已知P是△ABC所在平面外一点,A1、B1、C1分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.

题目

已知P是△ABC所在平面外一点,A1、B1、C1分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心.
⑴求证：面ABC∥面A1B1C1
⑵求AB∶A1B1

答案

证明：(1) 连接PA1并延长交BC于A2
连接PB1并延长交AC于B2,连接PC1并延长交AB于C2
连接A2B2,B2C2,C2A2,则由于A1,B1,C1是重心
∴PA1/A1A2=PB1/B1B2=PC1/C1C2=2
∴A1B1//A2B2,B1C1//B2C2,C1A1//C2A2
即面A1B1C1//面A2B2C2,而面A2B2C2=面ABC
∴面ABC//面A1B1C1
(2) AB:A1B1=(AB:A2B2)·(A2B2:A1B1)
∵A2,B2,C2是底边BC,CA,AB的中点
∴AB:A2B2=2 而A2B2:A1B1=PA2:PA1=3:2
∴AB:A1B1=2·3/2=3