设函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c,∈R.已知f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证:a>0,且-3＜b/a＜-3/4

题目

设函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c,∈R.已知f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证:a>0,且-3＜b/a＜-3/4

答案

证明：
∵f(1)=-a/2
∴a+b+c=-a/2
整理得：3a+2b+2c=0 ①
∵3a＞2c＞2b
∴3a-2c＞0 ②
3a-2b＞0 ③
2b-2c＜0 ④
①+②+③得：9a＞0,即：a＞0
①+②得：6a+2b＞0,整理得：b/a＞-3
①+④得：3a+4b＜0,整理得：b/a＜-3/4
∴-3＜b/a＜-3/4