如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD．（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△

题目

如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△OAB绕点O顺时针旋转90°

得到△OCD．
（1）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线CP把△OCD分成面积相等的两部分？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

答案

（1）在y=2x+4中，分别令y=0和x=0来得到：A（-2，0）、B（0，4）、
D点是因为旋转，OD=OB，所以，D点（4，0）；
C点也是因为旋转，OA=OC，所以，C点（0，2）；
设经过A、B、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有：4a-2b+c=0①，c=4②，16a+4b+c=0③（3分）
解①②③得：a＝−

，b=1，c=4，
∴抛物线的解析式为：y＝−

x2+x+4．（4分）
（2）若存在点P满足条件，则直线CP必经过OD的中点E（2，0）；（5分）
易知经过C、E的直线为y=-x+2，（6分）
于是可设点P的坐标为P（m，-m+2）；
将P（m，-m+2）代入y＝−

x2+x+4
得：−

m2+m+4＝−m+2，（7分）
整理，得：m²-4m-4=0，
解得：m1＝2+2

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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