已知圆T：（x-4）2+（y-3）2=25，过圆T内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（　　） A.21 B.213 C.212 D.42

题目

已知圆T：（x-4）²+（y-3）²=25，过圆T内定点P（2，1）作两条相互垂直的弦AC和BD，那么四边形ABCD面积最大值为（　　）
A. 21
B. 21

3

C.

21

2

D. 42

答案

设圆心T（O）到AC、BD的距离分别为d₁，d₂．
则d₁²+d₂²=TP²=OP²=8．．
四边形ABCD的面积为：
S=

1

2

×|AC|×|BD|=

1

2

×2

25−d12

×2

25−d22

=2

(25−d12)•(25−d22)

≤50-（d₁²+d₂²）=42．
当且仅当d₁²=d₂²时取等号，
故选 D．

设圆心到AC、BD的距离分别为d₁、d₂，则 d₁²+d₂²=8，代入面积公式S=

1

2

×AC×BD，使用基本不等式求出四边形ABCD的面积的最大值．

本题考点：圆內接多边形的性质与判定．

考点点评：此题考查学生掌握垂径定理及勾股定理的应用，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．学生做题时注意对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．