1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n+1/(1+n)>=(2n)/(n+3)恒成立.（n为非零自然数.）如何用数学归纳法证明

题目

1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/n+1/(1+n)>=(2n)/(n+3)恒成立.（n为非零自然数.）如何用数学归纳法证明

答案

（1）当 n=1 时,左边=1/2 ,右边=2/4=1/2 ,因此左边>=右边,不等式成立；
（2）设当 n=k 时,不等式成立,即 1/2+1/3+.+1/k+1/(k+1)>=2k/(k+3) ,
则当 n=k+1 时,有
1/2+1/3+.+1/k+1/(k+1)+1/(k+2)
>=2k/(k+3)+1/(k+2)
=[2k^2+4k+k+3]/[(k+3)(k+2)]
=(2k^2+5k+3)/[(k+3)(k+2)]
=2(k+1)/(k+4)+(2k^2+5k+3)/[(k+3)(k+2)]-2(k+1)/(k+4)
=2(k+1)/(k+4)+(k^2+k)/(k^3+9k^2+26k+24)
>2(k+1)/(k+4) ,
这说明当 n=k+1 时,不等式也成立,
根据（1）（2）可知,不等式 1/2+1/3+.+1/n+1/(n+1)>=2n/(n+3) 对任意正整数 n 都成立 .