已知函数f(x)=1/2x2-lnx. (I)求f(x)的单调区间; (II)若g(x)=-2/3x3+x2,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方.
题目
已知函数
f(x)=x2-lnx.
(I)求f(x)的单调区间;
(II)若
g(x)=-x3+x2,证明当x>1时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)的图象的上方.
答案
(I)∵
f(x)=x2-lnx的定义域为(0,+∞),
又
f(x)可得:f′(x)=x-=令f'(x)=0,则x=1
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
⊙
⊙⊙⊙x | ⊙(0,1) | ⊙1 | ⊙(1,+∞) |
⊙⊙f'(x) | ⊙- | ⊙0 | ⊙+ |
⊙⊙f(x) | ⊙递减 | ⊙极小值 | ⊙递增 |
故f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)
(II)令
h(x)=f(x)-g(x)=x3-x2-lnx则h′(x)=2x2-x-==
∵x>1
∴h'(x)>0
∴h(x)在(1,+∞)上单调递增
当x>1时,f(x)的图象恒在g(x)图象的上方.
(I)求出函数的定义域,求出导函数,求出导函数的根,列出x,f′(x),f(x)的变化情况表,求出单调区间.
(II)构造新函数h(x)=f(x)-g(x),求出h(x)的导函数,判断出h′(x)>0在(1,+∞)上恒成立,判断出h(x)递增,求出h(x)的最小值,判断出最小值大于0,判断出h(x)>0,判断出f(x)>g(x),得证.
A:利用导数研究函数的单调性 B:导数在最大值、最小值问题中的应用
求函数的单调区间注意要先求出函数的定义域,单调区间是定义域的子集;证明不等式常转化为求函数的最值.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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