已知抛物线y=a(x-t-2)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是P点,与x轴交于A(2,0)、B两点. (1)①求a的值; ②△PAB能否构成直角三角形?若能,求出t的值:若不能,说明理
题目
已知抛物线y=a(x-t-2)2+t2(a,t是常数,a≠0,t≠0)的顶点是P点,与x轴交于A(2,0)、B两点.
(1)①求a的值;
②△PAB能否构成直角三角形?若能,求出t的值:若不能,说明理由.
(2)若t>0,点F(0,-1),把抛物线y=a(x-t-2)2+t2向左平移t个单位后与x轴的正半轴交于M、N两点,当t为何值时,过F、M、N三点的圆的面积最小?并求这个圆面积的最小值.
答案
(1)①把A(2,0)代入y=a(x-t-2)
2+t
2得:at
2+t
2=0,┅(2分)
∵t≠0,∴a=-1;┅(3分)
②△PAB能构成直角三角形,理由为:
将a=-1代入抛物线解析式得:y=-(x-t-2)
2+t
2,
当y=0时,-(x-t-2)
2+t
2=0,即(x-t-2)
2=t
2,
开方得:x-t-2=t或x-t-2=-t,
解得:x
1=2,x
2=2t+2,
∴B(2t+2,0),┅(4分)
分两种情况:
(i)当t>0时,点B在点A的右侧,OA=2,OB=2t+2,
假设△PAB是直角三角形,如图1所示:过P作PQ⊥AB于Q,
则PQ=
AB,┅(5分)
∵抛物线的顶点坐标为(t+2,t
2),
∴PQ=t
2,
∵AB=OB-OA=(2t+2)-2=2t,
∴t
2=t,即t(t-1)=0,
解得:t
1=1,t
2=0(不合题意舍去);┅(6分)
(ii)当t<0时,点B在点A的左侧,
假设△PAB是直角三角形,如图2所示:过P作PQ⊥AB于Q,
同理:PQ=
AB,
∵AB=OA-OB=2-(2t+2)=-2t,PQ=t
2,
∴t
2=-t,┅(7分)
即t(t+1)=0,
解得:t
1=-1,t
2=0(不合题意舍去),┅(8分)
则当t=±1时,△PAB是直角三角形;
(2)不妨设点M在点N的左侧,
原抛物线向左平移t个单位后与x轴的交点M(2-t,0)、N(t+2,0),
MN的垂直平分线为直线x=2,垂足为H,┅(9分)
如图3所示,∵CF垂直于y轴时,CF的长度最小,
∴⊙C半径的最小值为2,┅(10分)
此时CM=CF=2,⊙C的最小面积为4π,┅(11分)
∵F(0,-1),∴CH=OF=1,
在Rt△CMH中,MH=OH-OM=2-(2-t)=t,
根据勾股定理得:CH
2+MH
2=CM
2,┅(12分)
∴1
2+t
2=2
2,解得:t
1=
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 甲、乙两车同时从两地相向而行,当甲车行了全程的65%,乙车行了全程的75%时,两车相距60千米.
- 一列简谐横波沿直线传播,在波的传播方向上有相距20m的A,B两点,当A完成了8次全振动时,B完成了3次全振动,已知波速为12m/s,波源的振动周期?
- 在锐角三角形ABC 中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a²+b²=6abcosC且sin²C=2sinAsinB (1)求角C的值.(2)设函数f(x)=si
- caso3 so2 h2o
- “万卷经书曾读过,平生机巧心灵,六韬三略究来精.胸中藏战将,腹内隐雄兵.谋略敢欺诸葛亮,陈平岂敌才能.略施小计鬼神惊”
- alice feels upset about tom.because she____(not hear)from him for more than one month
- 中文的名字“志枫”什么和哪一个英文的发音相同(急!急 !急!)
- 求值:cos2π/7cos4π/7cos8π/7
- 超有趣的数学题哦
- 人生的意义,不要说大道理那谁都懂,什么是生活
热门考点
|