设函数f(X)=(2^x+a)/(2^x-1) (a为常数)

题目

设函数f(X)=(2^x+a)/(2^x-1) (a为常数)
1,若函数f(X)是奇函数,求a的值,
2,若a>-1,证明函数f(X)在区间（0,+无穷）上是单调减函数

答案

f(-x)=(2^(-x)+a)/(2^(-x)-1)
=(1+a*2^x)/(1-2^x)
=-(1+a*2^x)/(2^x-1) =-f(x)
得1+a2^x=2^x+a
所以a=1
(2) 设a=t-1 >-1 则t>0
f(x)=(2^x+t-1)/(2^x-1) =1+t/(2^x-1)
x>0 时2^x-1是单调增 t/(2^x-1)则是单调减
所以f(x) 是单调减函数