如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BB1，AC1⊥A1B，D为AC的中点． （Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD； （Ⅱ）求证：平面AB1C1⊥平面ABB1A1．

题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BB₁，AC₁⊥A₁B，D为AC的中点．

（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

答案

（Ⅰ）设AB₁∩A₁B=O，连接OD．
由于点O是AB₁的中点，又D为AC的中点，所以OD∥B₁C（5分）
而B₁C⊄平面A₁BD，OD⊂平面A₁BD，所以B₁C∥平面A₁BD（7分）
（Ⅱ）因为AB=BB₁，所以是ABB₁A₁正方形，则A₁B⊥AB₁，
又A₁B⊥AC₁，且AC₁，AB₁⊂平面AB₁C₁，AC₁∩AB₁=A，所以A₁B⊥平面AB₁C₁（12分）
而A₁B⊂平面ABB₁A₁，所以平面AB₁C₁⊥平面ABB₁A₁（14分）