已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0),以右焦点F为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N

题目

已知双曲线c:x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>b>0),以右焦点F为圆心,|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N
（异于原点O）,若|MN|=（2√3）a,则双曲线C的离心率是

答案

解|MN|=（2√3）a,设M(x,√3a）N(x,-√3a）,设M与x轴的交点为T
由双曲线的渐近线方程为y=±b/ax
即M(√3b,√3a）N(√3b,-√3a）
则T(√3b,0）
注意ΔCTF是直角三角形
则TF=c-√3b,MT=√3a,CF=c
即TF²+MT²=CF²
即（c-√3b）²+（√3a）²=（c）²
即c²-2√3bc+3b²+3a²=c²
即3b²+3a²=2√3bc
即3c²=2√3bc
即2b=√3c
又有a²+b²=c²
即a²+（√3c/2）²=c²
即a²+3/4c²=c²
即a²=1/4c²
即a=1/2c
即c/a=c/(1/2c)=2