已知函数f(x)=x2+ax+3,g(x)=(6+a)•2x-1(Ⅰ)若f(1)=f(3),求实数a的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,判断函数F(x)=2/1+g(x)的单调性,并给出证明;(Ⅲ)当x∈[
题目
已知函数f(x)=x
2+ax+3,g(x)=(6+a)•2
x-1(Ⅰ)若f(1)=f(3),求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,判断函数F(x)=
答案
(Ⅰ)因为函数f(x)=x
2+ax+3,f(1)=f(3),
即1+a+3=9+3a+3,所以a=-4;
(Ⅱ)因为g(x)=2•2
x-1=2
x,
所以F(X)=
在R上是减函数.
理由如下:设x1<x2,
F(x
1)-F(x
2)=
-=2•,
因为x1<x2,所以
2x1<2x2⇒
2x2-2x1>0,
所以F(x
1)-F(x
2)>0即F(x
1)>F(x
2),
故F(X)=
在R上是减函数.
(Ⅲ)x∈[-2,2]时,f(x)≥a(a∉(-4,4))恒成立
等价于x
2+ax+3-a≥0在x∈[-2,2]∉(-4,4)恒成立,
令h(x)=x
2+ax+3-a,x
2+ax+3-a≥0恒成立⇔h(x)
min≥0,
因为h(x)图象关于x=-
对称,
又因为a∉(-4,4),所以
-∉(-2,2),
①当
-≤-2即a≥4时,[-2,2]是增区间,故h(x)
min=h(-2)=7-3a≥0⇒a≤
,
又因为a≥4,所以a∈Φ;
②当
-≥2即a≤-4时,[-2,2]是减区间,故h(x)
min=h(2)=a+7≥0⇒a≥-7,
又因为a≤-4,所以-7≤a≤-4.
综上a的取值范围是-7≤a≤-4.
故实数a的最小值是-7.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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