设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)

题目

设AB是n级矩阵,AB=0.证明R(A)+R(B)

答案

作2n级矩阵: En O 初等 En O 最 En -B
O AB 变换 A AB 后 A O
2n级矩阵的秩为n.
设R(A)=s R(B)=t
则A中有s个线性无关的行向量, B中有t个线性无关的行向量. 这个2n级矩阵的前n行至少有t个线性无关的向量,(只需将-B中的t个线性无关向量,再添加n个分量)
则有s+t