设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明:(1)至少有一点m属于(1/2,1),
题目
设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明:(1)至少有一点m属于(1/2,1),
设f(x)在[0,1]上连续且在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.证明:(1)至少有一点m属于(1/2,1),使得f(m)=m;
(2)对于任意a属于实数R,存在x属于(0,m),使得f '(x)-a[f (x)-x]=1
答案
1)令g(x)=f(x)-x 因为f(x)在[0,1]内连续 所以g(x)在(0,1)内也是连续的
又当x=1 时g(1)=0-1=-1<0 , 当x=1/2 时 g(1/2)=1-0=1>0
即g(1)*g(1/2)<0 所以 存在m 使得 当m在(1/2,1)时 有g(m)=0即 f(m)=m
2) 令H(x)=g(x)/e^ax 则当x=0 时H(0)=0/1=0 当x=m 时 由1)知g(m)=0 则此时 H(x)=0
即有H(0)=H(m) 又H(x)在(0,m)连续可导
所以由罗尔中值定理得存在 x 使得 H’(x)=0
即 [g'(x)-a*g(x)]/e^ax=0
所以 有g'(x)-a*g(x)]=f '(x)-1-a[f (x)-x]=0 原命题得证
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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