如图,三棱柱ABC-A1B1 C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=22,E,F分别是A1B,BC的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面A AlClC; (Ⅱ)证明:平面A1ABB1

如图,三棱柱ABC-A1B1 C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=22,E,F分别是A1B,BC的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面A AlClC; (Ⅱ)证明:平面A1ABB1

题目
如图,三棱柱ABC-A1B1 C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=BC=AA1=2,AC=2
2
,E,F分别是A1B,BC的中点.

(Ⅰ)证明:EF∥平面A AlClC;
(Ⅱ)证明:平面A1ABB1⊥平面BEC.
答案
证明:(Ⅰ)连结A1C,
∵E,F分别为A1B、BC的中点,
∴EF∥A1C,
∵EF不包含于平面AA1C1C,A1C⊂平面AA1C1C,
∴EF∥平面AA1C1C.
(Ⅱ)在△ABC中,AB=BC=AA1=2,AC=2
2

∴AB2+BC2=AC2,∴BC⊥AB,
∵AA1⊥面ABC,BC⊂平面ABC,
∴AA1⊥BC,
∵AB∩A1A=A,
∴BC⊥平面AA1B1B,
∵BC⊂平面BEC,
∴平面A1ABB1⊥平面BEC.
(Ⅰ)连结A1C1,由三角形中位线定理得EF∥A1C1,由此能证明EF∥平面AA1C1C.
(Ⅱ)在△ABC中,由勾股定理得BC⊥AB,线面垂直得AA1⊥BC,由此能证明平面A1ABB1⊥平面BEC.

平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

本题考查直线与平面平行的证明,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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