如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1中点,求证:平面PAC⊥平面B1AC

题目

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为DD1中点,求证:平面PAC⊥平面B1AC

答案

取底面ABCD对角线交点O.连结PO、B1O,PB1,B1D1,
因AP=PC,
三角形APC是等腰三角形,故PO⊥AC,同理B1O⊥AC,
故<POB1是二面角P-AC-B1的平面角,
设正方体棱长为1,
则AP=CP=√5/2,
AC=√2,AO=√2/2,
PO=√（AP^2-AO^2)=√3/2,
而AB1=AC=CB1,（都是正方形的对角线）,
△ACB1是正△,
B1O=（√3/2）*AC=√6/2,
B1P=√(PD1^2+B1D1^2)=3/2,
PO^2+OB1^2=9/4,
PB1^2=9/4,
根据勾股定理三角形OB1P是直角三角形,
〈POB=90度,
故平面PAC⊥平面B1AC.