18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列（1）若b=2倍根号3,c=2,求△ABC的面积

题目

18.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列（1）若b=2倍根号3,c=2,求△ABC的面积
（2）若sinA,sinB,sinC成等比数列,试判断三角形ABC的形状

答案

(1)
A、B、C成等差数列,则
2B=A+C
A+B+C=3B=180°
B=60°
由正弦定理得
sinC=csinB/b=2×sin60°/2√3=2×(√3/2)/(2√3)=1/2
C=30°或C=150°(B+C>180°,舍去)
A=180°-B-C=180°-60°-30°=90°
三角形是以角A为直角的直角三角形.
S△ABC=(1/2)bc=(1/2)×2√3×2=2√3
(2)
sinA、sinB、sinC成等比数列,则
sin²B=sinAsinC
由正弦定理得
b²=ac
由余弦定理得
cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=cos60°=1/2
a²+c²-b²=ac
a²+c²-2ac=0
(a-c)²=0
a=c
A=C=(180°-B)/2=(180°-60°)/2=60°
A=B=C,三角形是等边三角形.