已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集 _ .

已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集 _ .

题目
已知R上可导函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集 ___ .
作业帮
答案
由f(x)的图象可知:当x<-1或x>1时,函数f(x)单调递增,∴f′(x)>0;当-1<x<1时,函数f(x)单调递减,f′(x)<0.
不等式(x2-2x-3)f′(x)<0可化为
x2-2x-3>0
f(x)<0
x2-2x-3<0
f(x)>0

化为
x>3或x<-1
-1<x<1
-1<x<3
x<-1或x>1

解得∅或1<x<3.
∴不等式(x2-2x-3)f′(x)<0的解集是(1,3).
故答案为(1,3).
由f(x)的图象可知:当x<-1或x>1时,函数f(x)单调递增,f′(x)>0;当-1<x<1时,函数f(x)单调递减,f′(x)<0.
不等式(x2-2x-3)f′(x)<0可化为
x2−2x−3>0
f(x)<0
x2−2x−3<0
f(x)>0
解出即可.

导数的运算;函数的图象.

熟练掌握函数的单调性与当时的关系、不等式的解法、数形结合的思想方法是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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