设二次函数y=f(x)的最小值等于4,且f(0)=f(2)=6,求f(x)的解析式

题目

设二次函数y=f(x)的最小值等于4,且f(0)=f(2)=6,求f(x)的解析式
已知二次函数f(x),当x=1/2时有最大值25,且f(x)=0的两根立方和为19,求f(x)解析式

答案

设二次函数为ax^2+bx+c=0
则有最小值为c-b^2/(4a)=4
再代入f(0)=f(2)=6,得
c=6.4a+2b+c=6
最后联立得a=2,b=-4,c=6
2,同样,设二次函数为ax^2+bx+c=0
显然对称轴-b/2a=1/2 (1 )
最大值为c-b^2/(4a)=25.(2)
开口向下.
由伟达定理
x1^3+x2^3=（x1+x2）[（x1+x2）^2-3x1x2]
代入后的
（-b/a）^3-3(-b/a)(c/a)=19 (3 )
由1,2,3联立解得
a=-4,b=4,c=24 则
f(x)=-4x^2+4x+24