当x∈(1,+∞)时,函数y=x^a的图像恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是多少

题目

当x∈(1,+∞)时,函数y=x^a的图像恒在直线y=x的下方,则a的取值范围是多少

答案

a<1
若a=1,显然不满足题意；
若a>1,则y=x^a可写成y=x*x^(a-1)
当x∈(1,+∞)时,x^(a-1)>1,所以x^a>x,即y=x^a的图像在直线y=x的上方；
若a<1,则y=x^a可写成y=x/x^(1-a)
当x∈(1,+∞)时,x^(1-a)>1,则x^a即y=x^a的图像在直线y=x的下方,满足题意.