已知x,y,z都是正数, 且x^3+y^3+z^3=3xyz, 求证：x=y=z.

题目

已知x,y,z都是正数, 且x^3+y^3+z^3=3xyz, 求证：x=y=z.
请给出详细过程。

答案

　　证：x立方＋y立方＋z立方－3xyz＝0
（x＋y）立方＋z立方－3xy（x＋y）－3xyz＝0
（x＋y＋z）［（x＋y）平方－z（x＋y）＋z平方］－3xy（x＋y＋z）＝0
（x＋y＋z）（x平方＋2xy＋y平方－xz－yz＋z平方－3xy）＝0
（x＋y＋z）（x平方＋y平方＋z平方－xy－xz－yz）＝0
因为x、y、z均为正数,所以x＋y＋z为正数,所以必有
x平方＋y平方＋z平方－xy－xz－yz＝0
两边同乘以2,配方可得
（x－y）平方＋（ y－z）平方＋（z－x）平方＝0
几个非负数和为0,它们均为0,所以
x－y＝0,y－z＝0,z－x＝0
所以 x＝y＝z