20 已知向量ā=（cos3/2x,sin3/2x）,b=(cos1/2x,-sin1/2x),x∈[-π/3,π/4] 1.求a*b,|a+b|,2.若f(x)=a*b-|a+b| 求f(x)的最大

题目

20 已知向量ā=（cos3/2x,sin3/2x）,b=(cos1/2x,-sin1/2x),x∈[-π/3,π/4] 1.求a*b,|a+b|,2.若f(x)=a*b-|a+b| 求f(x)的最大值,最小值

答案

a*b=cos3x/2cosx/2-sin3x/2sinx/2=cos2x
a+b=(cos3x/2+cosx/2,sin3x/2-sinx/2)=(2cosxcosx/2,2sinx/2cosx)
|a+b|^2=(cos^2(x/2)+sin^2(x/2))4cos^2(x)=4cos^2(x)
由x∈[-pi/3,pi/4] ,cosx>0 ,|a+b|=2cosx
f(x)=cos2x-2cosx=2cos^2(x)-2cosx-1
取t=cosx,则
f(x)=g(t)=2t^2-2t-1,t∈[1/2,1]
g的对称轴为x=1/2
所以最小值为g(1/2)=-3/2,最大值为g(1)=-1