解微分方程:y′-y=sinx

题目

解微分方程:y′-y=sinx

答案

1.求齐次通解
对应齐次方程y′-y＝0的特征方程：m-1=0
得特征根：m=1
所以通解y_＝c exp(x)
2.求特解
由于方程右边自由项：sin(x),为exp(ix)的虚部
只要求y′-y＝exp(ix)的特解,取其虚部即可.
设特解为y×=A exp(ix),代入原方程得
A＝1/(i-1)
所以特解y×=exp(ix)/(i-1)=(-1/2)×(i+1)×exp(ix)=(-1/2)×(i+1)×[cos(x)+isin(x)]
取其虚部y*=-[sin(x)+cos(x)]/2
3.得方程全解
y=y_ + y*=c exp(x) - [sin(x)+cos(x)]/2