已知圆C与直线x+y-2根号2=0相切于点A(根号2,根号2),且圆心在直线y=-2x上

题目

已知圆C与直线x+y-2根号2=0相切于点A(根号2,根号2),且圆心在直线y=-2x上
注意第二问和网上的有些不同!不要copy
（1）求圆C的方程
（2）过A作两条倾斜角互补的直线分别与圆C相交与B,D两点,求证直线BD的斜率为定值.（网上是求两斜率为±2的两线与圆的交点的直线的斜率,不是一个档次的）

答案

(1) 直线x+y-2√2=0的斜率为-1,CA垂直于该直线,斜率为1,设其方程为y = x ＋b

带入点A的坐标,得b = 0

CA方程为y = x,与直线y= -2x交于原点,所以圆心为原点,半径为r = |OA| = √(2+2) = 2

圆C的方程: x² + y² = 4

(2) 设AB和AD的斜率分别为k和-k (倾斜角互补)

二者的方程分别为y = kx + m, y = -kx + n

带入A的坐标,可得m = (1-k)√2, n = (1+k)√2

AB: y = kx +(1-k)√2

AD: y = -kx +(1+k)√2

联立AB和圆的方程可得B(√2(k²-2k-1)/(k²+1), √2(-k²-2k+1)/(k²+1))  (另一解为A的坐标,舍去）

联立AD和圆的方程可得D(√2(k²+2k-1)/(k²+1), √2(-k²+2k+1)/(k²+1))  (另一解为A的坐标,舍去）

BD的纵坐标之差为△y = √2(-k²+2k+1)/(k²+1) - √2(-k²-2k+1)/(k²+1) = 4√2k/(k²+1)

BD的横坐标之差为△x = √2(k²+2k-1)/(k²+1) - √2(k²-2k-1)/(k²+1) = 4√2k/(k²+1)

BD的斜率为△y/△x = 1为常数