正整数a,b,c满足a＋b＋c＝55,a－bc＝－8,则abc的最大和小值是

题目

正整数a,b,c满足a＋b＋c＝55,a－bc＝－8,则abc的最大和小值是

答案

由 a-bc=-8 可得 a=bc-8 ,
代入 a+b+c=55 得 bc-8+b+c=55 ,即 bc+b+c+1=64 ,亦即 (b+1)(c+1)=64 ；
由于 a、b、c都是正整数,所以 b+1、c+1 均不小于2 ,
所以 (b+1)(c+1)=64=2*32=4*16=8*8=16*4=32*2 ,
于是得 b=1、c=31,或b=3、c=15,或 b=7 、c=7 ,
相应地得 a=55-1-31=23,或 a=55-3-15=37 或 a=55-7-7=41 ,
所以 abc=23*1*31=713 或 abc=37*3*15=1665 或 abc=41*7*7=2009,
故 abc 的最大值为2009,最小值为 713 .