如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上. (1)求△ABC中AB边上的高h; (2)设DG=x,当
题目
如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的设计方案是使DE在AB上.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d1438fcb179270f082025baf07c5.jpg)
(1)求△ABC中AB边上的高h;
(2)设DG=x,当x取何值时,水池DEFG的面积最大?
(3)实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树.
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a686c9177f3e670920a2a14e38c79f3df9dc55e5.jpg)
如图,(1)过点C作CI⊥AB,交GF于H,在△ABC中用勾股定理得:AB=10,
∵S
△ABC=
AC•BC=
AB•CI,
∴
×6×8=
×10×CI,
∴CI=4.8;
∴△ABC中AB边上的高h=4.8.
(2)∵水池是矩形,
∴GF∥AB,
∴△CGF∽△CAB,
∵CH,CI分别是△CGF和△CAB对应边上的高,
∴
=
,
∴
=
,
∴GF=10-
,
∵10-
>0,
∴0<x<
,
设水池的面积为y,则
y=x(10-
)=-
x
2+10x,
当x=-
=2.4时,水池的面积最大;
(3)∵FE⊥AB,CI⊥AB,
∴FE∥CI,
∴△BFE∽△BCI,
∴FE:CI=BE:BI,
又∵FE=2.4,CI=4.8,
在Rt△BCI中用勾股定理可得BI=3.6,
∴BE=
=
=1.8,
∵BE=1.8<1.85,
∴这棵大树在最大水池的边上.
为了保护这棵大树,设计方案如图:
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/3ac79f3df8dcd10077a93ea5718b4710b9122f79.jpg)
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